Né dans une famille de musiciens dans le Caucase, Alexeï Birioukov s’initie à la balalaika à l’âge de 10 ans. Il passe 5 ans auprès du maître de la balalaika Pavel.I Netcheporenko, et obtient le diplôme de balalaïka et de direction d’orchestre d’instruments populaires russes à l’Académie de musique Gnessine de Moscou.

En 1991, il remporte le Premier Prix du Concours international de Klingenthal (Allemagne) dans la catégorie « groupes » en se produisant avec le Trio Sinioritta et commence une carrière internationale. Alexeï prend part à de prestigieux événements musicaux et se produit avec diverses formations artistiques. De 1991 à 1995, il produit une tournée en Europe avec le Trio Sinioritta. En 1994, il forme un duo avec François Heim, joueur d’accordéon diatonique et crée avec lui le groupe Balagan. En 1997, il s’installe définitivement en France et joue en tant que soliste avec l’Orchestre d’Avignon et l’Orchestre philharmonique Européen. Depuis 2005, Alexeï est directeur artistique de l’Ensemble Troïka (spectacle de musique, danse, chant Russe, Tzigane et des Pays de l’Est). En 2007, il est décoré d’une médaille d’or « Service pour l’Art » par le Fond du Mouvement Public Charitable pour faire vivre la culture russe à l’étranger. En 2013, il participe au festival international des Grands Maîtres de la Balalaïka à Moscou.

La presse le considère aujourd’hui comme l’un des grands virtuoses de la balalaïka. Les critiques français parlent d’une « découverte », d’un « soliste au sens musical pénétrant qui a gardé son visage d’adolescent ».